【数的処理】3つの食塩水を混ぜる天秤法の超速解法を元専門家が解説

公務員試験の数的処理で、多くの受験生が頭を悩ませる「濃度の問題」。中でも、3つの食塩水を混ぜる問題は、計算が複雑になりやすく、時間を浪費してしまう最大の関門の一つです。

しかし、もしこの問題をわずか1〜2分で、しかも高い正答率で解ける「爆速解法」があるとしたら、知りたくありませんか？

この記事では、公務員試験の数的処理を知り尽くした元専門家の視点から、最強の時短テクニック「天秤法」を徹底的に解説します。基本の「き」から、この記事の核心である「3つの食塩水を混ぜる問題」への応用、さらには公務員試験に特化した出題傾向と対策まで、余すところなくお伝えします。

この記事を読み終える頃には、あなたは食塩水問題への苦手意識が消え、むしろ「得点源」として自信を持って解けるようになっているはずです。

天秤法とは？まずは基本の「2つ混ぜ」をおさらい

「3つ混ぜ」を攻略する前に、まずは天秤法の基本、「濃度と重さの逆比」をおさらいしましょう。

天秤法の基本「濃度と重さの逆比」

天秤法とは、2つの食塩水を天秤の両端に見立て、その釣り合いを利用して濃度や重さを求める解法です。

ポイントは「腕の長さの比」が「重さの逆比」になること。 天秤の図をイメージしてください。

• おもり: 食塩水の重さ（g）
• 支点: 混ぜ合わせた後の濃度（%）
• おもりを置く位置: それぞれの食塩水の濃度（%）
• 支点からの距離（腕の長さ）: 濃度と、混ぜ合わせた後の濃度の差

天秤が釣り合うとき、「（左のおもり）×（左の腕の長さ）＝（右のおもり）×（右の腕の長さ）」が成り立ちます。これを濃度算に応用すると、以下の重要な関係が導き出せます。

重さの比 ＝ 腕の長さの逆比

言葉だけでは難しいので、簡単な例題で見てみましょう。

【例題1】 10%の食塩水200gと、30%の食塩水300gを混ぜ合わせると、何%の食塩水ができますか？

【天秤法での解法】

1. 天秤の左に「10%」、右に「30%」を配置します。
2. それぞれの真下におもりとして「200g」と「300g」を置きます。
3. 重さの比を求めます。200g : 300g = 2 : 3
4. 「重さの比」と「腕の長さの比」は逆になるので、腕の長さの比は 3 : 2 となります。
5. 支点（混ぜた後の濃度）は、10%と30%の間を 3 : 2 に内分する点になります。
6. 10%と30%の差は20%です。この20%を (3 + 2) = 5 で分割します。
7. 20% × (3 / 5) = 12%
8. 10%の食塩水から見て、支点は12%右にずれます。つまり、10% + 12% = 22%。
9. （検算）30%側から見ると、20% × (2 / 5) = 8%。30% - 8% = 22%。

答えは 22% です。方程式で解くよりも、はるかに直感的で速いことが実感できるはずです。

【本題】3つの食塩水を混ぜる天秤法の「爆速ステップ」

基本がわかったところで、いよいよ本題の「3つ混ぜ」です。一見複雑に見えますが、やることは非常にシンプル。「2つ混ぜ」を2回繰り返すだけです。

これだけです。具体的な問題で見ていきましょう。

【例題2】 5%の食塩水100g、10%の食塩水200g、30%の食塩水300gをすべて混ぜ合わせると、何%の食塩水ができますか？

【解法】 Step 1: 5%の食塩水100gと10%の食塩水200gを混ぜる

• 重さの比: 100g : 200g = 1 : 2
• 腕の長さの比: 2 : 1
• 濃度の差: 10% - 5% = 5%
• 支点の位置: 5%側から 5% × (2 / 3) = 10/3 % ずれる。
• 混ぜた後の濃度: 5% + 10/3 % = 25/3 %
• 混ぜた後の重さ: 100g + 200g = 300g

これで、「25/3 % の食塩水が300gできた」ことになります。

Step 2: Step1の食塩水と、残りの30%の食塩水300gを混ぜる

• 合成食塩水: 25/3 %、300g
• 残りの食塩水: 30%、300g
• 重さの比: 300g : 300g = 1 : 1
• 腕の長さの比: 1 : 1
• 支点の位置: 濃度のちょうど真ん中になります。
• 混ぜた後の濃度: (25/3 + 30) ÷ 2 = (25/3 + 90/3) ÷ 2 = (115/3) ÷ 2 = 115/6 %

答えは 115/6 % (約19.17%) です。 このように、どんなに数が増えても「2回混ぜる」という原則さえ守れば、機械的に答えを導き出せます。

【独自】公務員試験特化！「なぜ天秤法が最強なのか」

なぜ、私たちはここまで天秤法を推奨するのでしょうか。それは、公務員試験の数的処理において、天秤法が圧倒的に有利だからです。ここでは、その理由と、試験に特化した活用戦略を深掘りします。

方程式より「速くて、正確」

公務員試験は時間との戦いです。1問あたりにかけられる時間はわずか3〜5分。方程式を立てて解く方法は確実ですが、立式に時間がかかり、計算過程も複雑になりがちです。

天秤法は、比の計算に慣れさえすれば、計算量を劇的に減らせます。これは、他の問題に使える時間を確保する上で、計り知れないアドバンテージとなります。

公務員試験の出題傾向と天秤法の使い分け

公務員試験の食塩水問題は、いくつかの頻出パターンがあります。

• 市役所・地方初級レベル:
  • 2つまたは3つの食塩水を混ぜる基本問題が中心。
  • 天秤法をマスターしていれば、ほぼ全ての問で得点できます。
• 地方上級・国家一般職レベル:
  • 「水を加える/蒸発させる」「食塩を加える」といった応用問題が増える。
  • 濃度や重さの一部が未知数になっている問題も出題される。
• 国家総合職レベル:
  • 複数の操作を組み合わせた複雑な問題や、比を巧みに使わせる問題が出題される。

天秤法が使いにくいと感じる問題（例：複数の未知数がある複雑な問題）では、無理せず方程式に切り替える柔軟性も大切です。しかし、ほとんどの問題は天秤法、またはその応用で解けることを知っておきましょう。

【独自】過去問で実践！天秤法マスターへの道

理論を学んだら、次は実践です。実際の公務員試験レベルの問題を解いて、天秤法を自分の武器にしましょう。

【実践問題1：地方上級レベル】 濃度がそれぞれ3%, 6%, 12%の3種類の食塩水A, B, Cがある。Aを100g, Bを200g, Cを300g混ぜ合わせると、何%の食塩水ができるか。

1. 6.5%
2. 7.5%
3. 8.5%
4. 9.0%
5. 9.5%

【天秤法による解説】 Step 1: 食塩水A(3%, 100g)とB(6%, 200g)を混ぜる

• 重さの比: 100g : 200g = 1 : 2
• 腕の長さの比: 2 : 1
• 濃度の差: 6% - 3% = 3%
• 支点の位置: 3%側から 3% × (2 / 3) = 2% ずれる。
• 混ぜた後の濃度: 3% + 2% = 5%
• 混ぜた後の重さ: 100g + 200g = 300g → 5%の食塩水が300gできた。

Step 2: Step1の食塩水(5%, 300g)とC(12%, 300g)を混ぜる

• 重さの比: 300g : 300g = 1 : 1
• 腕の長さの比: 1 : 1
• 支点の位置: 5%と12%のちょうど真ん中。
• 混ぜた後の濃度: (5% + 12%) ÷ 2 = 17% ÷ 2 = 8.5%

よって、正解は 3. 8.5% となります。選択肢があるため、計算結果に自信が持てますね。

【実践問題2：応用レベル】 8%の食塩水300gに、15%の食塩水を何gか加えた後、さらに水を100g加えたところ、11.4%の食塩水ができた。加えた15%の食塩水の量は何gか。

1. 400g
2. 450g
3. 500g
4. 550g
5. 600g

【解説】 このような、複数の操作が加わり、途中の量が未知数となる問題では、天秤法を複数回使うと計算が複雑になることがあります。こういう時こそ「食塩の量」に注目する方程式が最速かつ確実です。

「最終的に含まれる食塩の量」と「最初からあった食塩の量の合計」が等しくなる、という関係を使います。

加えた15%の食塩水の量を Zg とします。

• 最初からあった食塩の量の合計

  • (8%の食塩水300gに含まれる食塩) + (15%の食塩水Zgに含まれる食塩)
  • (300 × 0.08) + (Z × 0.15)
  • = 24 + 0.15Z

• 最終的に含まれる食塩の量

  • 最終的な食塩水の総重量は (300g + Zg + 100g) = (400 + Z)g
  • 最終的な濃度は 11.4% なので、食塩の量は
  • (400 + Z) × 0.114
  • = 45.6 + 0.114Z

これらが等しいので、方程式を立てます。 24 + 0.15Z = 45.6 + 0.114Z

この方程式を解きます。 0.15Z - 0.114Z = 45.6 - 24 0.036Z = 21.6 Z = 21.6 ÷ 0.036 Z = 21600 ÷ 36 Z = 600

よって、加えた15%の食塩水は 600g となり、正解は 5. 600g です。

まとめ：天秤法は数的処理の「秘密兵器」である

今回は、公務員試験の数的処理における難関「3つの食塩水を混ぜる問題」を、天秤法で攻略する方法を解説しました。

食塩水問題は、正しいアプローチさえ知っていれば、誰でも安定した得点源にすることができます。天秤法という強力な「秘密兵器」を手に入れたあなたは、もうこの問題を恐れる必要はありません。

ぜひ、この記事を何度も読み返し、お手持ちの問題集で練習を重ねてください。そして、本番の試験でライバルをごぼう抜きにする快感を味わってください。あなたの合格を心から応援しています。