【図解】ニュートン算「窓口が増える」問題の解き方｜公務員試験対策

「ニュートン算、ただでさえ苦手なのに、途中で窓口が増えるなんて…もう無理！」「線分図を描こうとしても、どこがどうなっているのかサっぱりわからない…」

公務員試験の数的処理で多くの受験生を悩ませる「ニュートン算」。その中でも、途中で条件が変わる「窓口が増える」タイプの問題は、特に難解で、ここで差がついてしまうことも少なくありません。

しかし、安心してください。この応用問題には、明確な解法パターンが存在します。そして、この記事では、その解法を誰にでも分かるように、図解を交えて徹底的に解説します。

この記事の核心は、単なる解法紹介に留まりません。

公務員試験の出題傾向を踏まえた実践的な時短テクニック
線分図がどうしても苦手な人のための「式だけの代替解法」

といった、他のどのサイトにもない『educarelog.net』独自の視点をふんだんに盛り込みました。

この記事を最後まで読めば、あなたは「窓口が増える」ニュートン算への苦手意識を克服し、むしろ得点源に変えることができるでしょう。

ニュートン算の基本原理｜「増えながら減る」を理解する

応用問題に取り組む前に、まずはニュートン算の基本を再確認しましょう。

ニュートン算は、一言で言えば「一定の割合で増え続けるもの」を、「一定の割合で処理していく」問題です。

よく似た問題に「仕事算」がありますが、両者の決定的な違いは「処理すべき対象が増え続けるかどうか」です。

仕事算: 全体の仕事量は最初から決まっている（例：100ページの資料作成）
ニュートン算: 仕事をしている間にも、処理すべき対象が増え続ける（例：行列に並ぶ客、牧草地に生える草、湧き出る水）

この「増えながら減る」という状況を数式で捉えることが、ニュートン算攻略の第一歩です。

ニュートン算の3要素と基本公式

ニュートン算は、以下の3つの要素で構成されます。

最初の量: 最初から存在した量（例：開店時の行列の人数）
増加量: 単位時間あたりに増える量（例：1分あたりに新たに来る客の人数）
処理量: 単位時間あたりに処理できる量（例：1つの窓口が1分あたりに対応できる客の人数）

そして、行列がなくなる（＝仕事が完了する）とき、次の関係が成り立ちます。

(全体の処理量) - (全体の増加量) = 最初の量

これを時間で整理すると、以下の基本公式が導き出せます。

(単位時間あたりの処理量 - 単位時間あたりの増加量) × 時間 = 最初の量

この公式が「なぜそうなるのか」を直感的に理解することが重要です。（処理量 - 増加量）は、「行列が1分あたりに、実質的に何人減るか」を意味します。この「実質的な減少量」に時間をかければ、最初にいた行列の人数に等しくなる、というわけです。

【図解】王道解法「線分図」でニュートン算を可視化する

ニュートン算を解く上で最も強力なツールが「線分図」です。状況を視覚的に整理することで、複雑な問題もシンプルに捉えられます。

【基本例題】 あるテーマパークの入場口に、開園時点で600人の行列ができています。開園後も、毎分10人の割合で新たに行列に加わります。入場口を2つにすると、30分で行列がなくなりました。入場口1つが1分あたりに処理できる人数は何人ですか。

この問題を線分図で考えてみましょう。ポイントは「行列がなくなった」＝「処理した総量」と「発生した総量」が等しいと考えることです。

発生した総量: 最初にいた600人＋ 30分間で増えた人数
処理した総量: 2つの窓口が30分間で処理した人数

【計算手順】

全体の増加量: 10人/分 × 30分＝ 300人
処理した総量: 600人（最初）＋ 300人（増加）＝ 900人
1窓口あたりの処理能力: 900人を「2つの窓口」で「30分」かけて処理したので、 900 ÷ 30 ÷ 2 ＝ 15人/分

生徒

なるほど！「増えた分」も合わせて全部処理しなきゃいけないから、足し算になるんですね。

先生

その通り。「減らす仕事」をしている間に「増える仕事」があるから、ゴールが少し遠ざかるイメージだね。この基本感覚が、次の応用問題で生きてくるよ。

【応用】「途中で窓口が増える」問題の攻略法

さて、ここからが本番です。公務員試験でよく出る「途中で条件が変わる」パターンです。

【応用例題】 あるイベント会場のチケット売り場に行列ができています。窓口を3つ開けると60分で行列がなくなり、5つ開けると30分で行列がなくなります。いま、窓口を3つ開けて作業を始め、20分後に窓口をさらに2つ追加して合計5つにしました。行列がなくなるのは、窓口を追加してから何分後ですか。

生徒

うわっ、出た…。人数も増えるペースも書いてないし、さらに途中で窓口が増えるなんて、複雑すぎてパニックです…。

先生

大丈夫。実はこの問題、「2段階」に分けて考えると、さっきの基本問題と同じになるんだ。まずは「行列の正体」を暴くところから始めよう。