数的推理のコツは？単元と解法パターンの整理で誰も突破可能！

2022年12月11日
公務員試験

数的推理は全16点程度出題される数的処理の中で6点程度（数的処理の中でも約40%）の配点を占めます。

数的処理の配点例

数的推理: ６点
判断推理: ５点
空間把握: ３点
資料解釈: ２点
合計: １６点

ここで大きく失点すると、数的処理全体の得点が安定しないため、非常に重要な科目と言えます。

この記事では、私の予備校講師の指導経験から偏差値40で算数や数学からはとっくの昔に引退済の方でも、確実に結果を残せるようにするための数的処理の攻略法を伝授いたします！

プロの予備校講師の目線から数的処理の出題傾向とレベルに応じた適切な教材を紹介し、文系の方や数学の苦手な方でも無理なくステップアップできるような勉強法をご紹介します。

また、これから数的処理の指導者になろうとしてる方が科目の概要を掴んだり、苦手な方への教え方を習得することにもオススメです！

1 数的推理で出題される単元を知ろう！出題内容と配点を徹底解説
2 具体的な過去問と解き方を確認！
3 数的推理の攻略法

数的推理で出題される単元を知ろう！出題内容と配点を徹底解説

何の単元から何点くらい出題されるのかを把握することは、受験勉強攻略の上で非常に大切です。

（例により試験種ごとの細かな差はありますが）数的推理はざっくりと以下の6つの単元で構成され、それぞれ1点づつ出題されるイメージです。

文章題（基本）
文章題（単位量）
整数
場合の数・確率
幾何図形
規則性

各単元の具体的な出題内容もまとめたので、確認しましょう。

単元名	出題内容	難易度
①文章題（基本）	方程式、平均、濃度、年齢算、過不足算（不等式）
②文章題（単位量）	仕事算、ニュートン算、速さ
③整数	不定方程式、数の性質、倍数・約数、N進法、数列
④場合の数・確率	場合の数、順列、組み合わせ、確率
⑤幾何図形	角度、三平方の定理、合同・相似、円、面積	高い
⑥規則性	多少の実験が必要な公務員試験特有問題	高い

出だしではありますが、攻略難易度についてもコメントしておきます。

ほとんどの分野の難易度は横ばいで大したことはありませんが、幾何図形と規則性の分野については難易度が突出して高い特徴が見られます。

具体的な過去問と解き方を確認！

ここではいくつかの問題の過去問の出題例とその具体的な解き方を紹介します！

もちろん、ここで解けなくとも全く問題ありませんが、結局は正しい方向性で努力を重ねれば絶対に解けるようになるものであるということを理解してください！

ほとんどは典型的パターン問題！しっかりと得点しよう

過去問例題（都庁Ⅰ類B　平成25年）: 2000の約数の個数として、正しいのはどれか。

１．１６個
２．１７個
３．１８個
４．１９個
５．２０個

この問題は、公務員試験を勉強する中で絶対に知っていなければいけない重要公式を知っていさえいれば秒殺です。

解説

重要公式: A^a×B^b×C^c・・・の約数の個数は (a＋1)×(b＋1)×(c＋1)個
※A、B、C・・は素数

2000＝2⁴×5³なので、約数の個数の公式に当てはめると(4＋1)×(3＋1)＝20通り。

よって、正解は5と求められます。

どうでしょうか？

これは確かに数学の問題ではありますが、公務員試験はほぼ知識問題のような感じでこの出題スタイルで繰り返し繰り返しこのパターンが出題され続けています。

絶対に解けるようになっておきましょう！

なお、このレベルの問題から全然「？？？」である場合は、基礎から丁寧に解説している参考書を活用することがおすすめです。

リンク

もう一品確認しましょう。

今度は数的推理で必ず1問は出題される文章題のテーマです。

過去問例題（国税・労基　平１９年）: ある水槽で、満水時に、排水口を開けるとともに排水ポンプを３台使用すると１６分で水槽は空になり、排水口を開けるとともに排水ポンプを２台使用すると２０分で水槽の水が空になる。ここで、排水口を閉じたままポンプを１台使用する場合、満水の水槽が空になるまでの時間として最も妥当なのはどれか。
ただし、排水口及び排水ポンプからの排水量は、それぞれ、水槽の水の量にかかわらず常に一定の数値を示すものとする。また、１台あたりの排水ポンプからの排水量はどれもすべて同じとする。

１．４０分
２．５０分
３．６０分
４．７０分
５．８０分

解説

本問は公務員試験の文章問題で繰り返し出題されている仕事算と呼ばれるテーマのもので、以下の解法パターンを知っているかどうかで勝負が決まります。

仕事量＝１とおく　←「仕事」が何かを読み取れることがポイント
時間あたりの仕事量を求める　←「仕事率」と呼ぶ
仕事の総量＝１の方程式を立てる

解法の3ステップを実際に当てはめて解いてみます。

STEP1：仕事の全体量を１とおく。

排水口および排水ポンプが『水槽の水を排出すること』が仕事であり、満水の水を全て空にすることを１とおく。

STEP2：仕事率を求める

排水口、排水ポンプの1分あたりの仕事量は不明なので、文字でおきます。
排水口の仕事率x[L/分]、排水ポンプ1台仕事率をy[L/分]とおく。

STEP3：仕事の合計＝１に注目して式を立てる

⑴　排水口および排水ポンプ３台で１６分間で仕事を完了することに注目

x×16（排水口が16分で排出する水）＋3y×16（ポンプ3台が16分で排出する水）＝１
16x＋48y＝１・・・①

⑵　排水口および排水ポンプ２台で20分間で仕事を完了することに注目

x×20（排水口が16分で排出する水）＋2y×20（ポンプ2台が20分で排出する水）＝１
20x＋40y＝１・・・②

①×５,②×４を連立してxを消去すると、y＝1/80である。

排水ポンプ１台がt分で仕事を完了させるとすると、以下の式が成り立ちます。
1/80×t＝1

よって、t＝80分なので、正解は5です。

いかがでしょう？

初見の方はもちろん解けなくて結構ですが、やり方を理解して覚えておけばなんとなくいけそうな気がしてきませんか？

実は、数的処理にはこうしたやればやるだけ努力が報われるようなタイプの分野がたくさんあり（といいうか、ほとんどはそうです）、こうした分野をしっかりと解き切ることが非常に重要です。

なお、この仕事算と呼ばれるテーマは3STEPの解法を守ればどれもハメ技のように解けてしまいます。

出題の可能性はかなり高いので、問題集で類題を何問も解いてみることでいけそうな感覚を掴んでみてください。

リンク

数学っぽいけど公務員試験オリジナル問題も出てくる

以下の問題は数的推理の超・頻出パターンです。
数学っぽいのですが、厳密には公務員試験専用問題と言えます。

過去問例題（東京都特別区Ⅰ類　平26年度）: ４、６、８で割ると余りはそれぞれ１になり、５で割ると余りが３、７で割ると余りが５、１５で割ると余りが１３になる３けたの自然数は、全部で何個か。

１．０個
２．１個
３．２個
４．３個
５．４個

解説

ここで求める自然数をNと置いてみます。

(1)「４、６、８で割ると余りはそれぞれ１」を式にする

N＝4p＋1
N＝6q＋1
N＝8r＋1

①②③から、(N-1)は４の倍数かつ6の倍数かつ８の倍数です。
4,6,8の最小公倍数は24なので、(N-1)について以下のことが言えます。

N-1＝24k
N＝24k＋1・・・（☆）

(2)「５で割ると余りが３、７で割ると余りが５、１５で割ると余りが１３」を式にする

N＝5s-2
N＝7t-2
N＝15u-2

①②③から(N＋2)は5の倍数かつ７の倍数かつ15の倍数です。
5,7,15の最小公倍数は105なので以下のことが言えます。

N＋2＝105l
N＝105l − 2・・・（★）

(3)条件を満たすかどうかを検証する

ここまでの考察で、以下2本の式が求められました。

N＝24k＋1・・・（☆）
N＝105l − 2・・・（★）

Nが３桁の自然数になるとき（☆）と（★）の式の両方を満たすかを検証する。

３桁の数が少ないのは（★）の式なので、l＝１〜９の場合であるので全て書き出す。
⇒　本問の（☆）と（★）の式は、これ以上まとめられそうもないです。このような時は最終手段として、全ての数を書き出すしか方法はないのである。

l＝1 のとき、N＝105×1–2＝103
l＝2 のとき、N＝105×2–2＝208
l＝3のとき、N＝105×3–2＝313　 ←　313＝24×13＋1
l＝4 のとき、N＝105×4–2＝418
l＝5 のとき、N＝105×5–2＝523
l＝6 のとき、N＝105×6–2＝628
l＝7 のとき、N＝105×7–2＝733
l＝8 のとき、N＝105×8–2＝838
l＝9 のとき、N＝105×9–2＝943

以上の９通りについて（☆）の条件を満たしているのかを検討する。

（☆）の式は24余り１であるので、（★）の式から得られた９個の場合が24余り１であるかを検証すると、l＝3の時のみ条件を満たしている。

よって、１個であると求まるので、正解は2です。

どうでしょうか？

恐らく、よほどの数学の猛者か公務員試験の学習経験者の方をのぞいて、この問題を初見で解ける人はいませんのでご安心ください。

この問題は「剰余系」と呼ばれる超頻出パターンの一つで、先ほどの解説(1)(2)の中で出てきた式変形は典型的な解法パターン問題です。
ですので、一見すると複雑に見えますが知っているかどうかで勝負が決まります。

一方、最終的な答えを得るためには(3)のような試行錯誤実験を行うことも必要で、ここは類似のパターンの経験の有無が非常に重要になります。

なお、こうしたパターンをマスターするためにはロジックを理解することも重要です。

以下の参考書は講義型参考書と呼ばれる、先生が説明をしてくれるような解説スタイルの本なので是非とも活用してみましょう。

リンク

幾何図形の分野は苦手な人にはちょっと難しい

過去問例題（地方上級　平26年度）: 次の図のような、辺AB＝13cm、辺BC＝16cmとする長方形ABCDと、辺AB、辺BC、辺CD、辺AD上の点E、点F、点G、点Hで囲まれた四角形EFGHがある。今、点E、点F、点G、点Hから辺CD、辺AD、辺AB、辺BCに垂線を引き、それぞれの交点をQ、R、O、Pとすると、EO＝5cm、FP＝6cmとなった。このとき、四角形EFGHの面積はどれか。

１．104cm²
２．119cm²
３．124cm²
４．134cm²
５．149cm²

解説

重要公式: 面積を同じままに図形の形状を変えることを等積変形と呼ぶ。明らかに、直接面積を求めにくい形状をしている図形にはこの考え方を使わせる場合が多い。
対称性をもった図形、複数の合同な図形など、これらに着目すると等積変形に気付きやすいことを知っておきましょう。

本問では下図のように、長方形AEVH,BFSE,CGTF,DHUGに分割して注目することがポイントです。

このように分割すると、各長方形は同じ面積をもつ三角形×２で構成されているという事実を活用することが可能です。
（例えば、長方形AEVH＝△AEH＋△EVHとできますね。他の長方形についても同様ですぞ）

上図のように、それぞれの三角形の面積をa,b,c,d[cm²]とおきます。

ここで、面積に注目して以下の2本の式を立ててます。

□ABCD（208cm²）＝□EFGH＋(a＋b＋c＋d)
□EFGH＝(a＋b＋c＋d)＋□HVST（30cm²）

①-②で(a＋b＋c＋d)をまとめて消去すると、

208cm²–□EFGH＝□EFGH-30cm²
2□EFGH＝238cm²

よって、□EFGH＝119cm²なので正解は2です。

いかがでしょう？

恐らく、感想は大きく二つに分かれているでしょう。

これ高校受験で出てきた問題でめっちゃ簡単じゃね？
こういうのめっちゃ苦手で、少しでも設定変わったら解ける気しないわ〜

図形問題も結局はある程度パターン化されるため、苦手意識のない①の方は図形分野も過去問をベースにどんどん学習を進めていけば良いでしょう。

この分野は苦手とする受験生は非常に多いため、1点分のアドバンテージを持つことができます！

一方、②の方にとっては図形はコスパが悪いため、深追いしない方が良いでしょう。

もちろん、苦手であっても解法パターンを押さえることで当然解けるようにはなりますが、この手の分野は柔軟に設定変更を行いやすく、苦手な方はちょっと設定が変わるとすぐに解けなくなる傾向があります。

苦手な人にとっては図形以外の分野の方が圧倒的に得点化がしやすいので、コスパの良い分野で勝負しましょう！

数的推理の攻略法

数的推理は数学でも知能検査問題でもありません

数的推理は純粋な数学でも知能検査でもなく、数学の知識を使った公務員試験専用科目であるということをしっかりと認識しましょう。

よく、

自分は元々数学が苦手だから・・・
知能検査っぽいから対策しても無駄なのでは？

といった大いなる誤解をしている公務員試験受験生が多くいますが、これは全く違います。

確かに数学的なエッセンスがあるような科目ではありますが、一定数の公式や解法パターンといった知識ベースで解けるような問題が多いため、数学とは言えません。

以下の問題なんて、ほぼ一問一答のような問題でしょう。

過去問例題（都庁Ⅰ類B　平成25年）: 2000の約数の個数として、正しいのはどれか。

１．１６個
２．１７個
３．１８個
４．１９個
５．２０個

また、以下の問題はちゃんと勉強が進んでいない受験生からすると、一見すると知能検査っぽく見えたかもしれません。

過去問例題（東京都特別区Ⅰ類　平26年度）: ４、６、８で割ると余りはそれぞれ１になり、５で割ると余りが３、７で割ると余りが５、１５で割ると余りが１３になる３けたの自然数は、全部で何個か。

１．０個
２．１個
３．２個
４．３個
５．４個

確かにこの問題は初心者には骨がありますが典型問題（＝パターン問題）であり、解法を覚えたり実験のやり方をマスターしてしまえば、誰でも解けるようになります。

知識や経験によらない即興性や能力を図る目的の知能検査とは明確に違います。

単元ごとに問題と公式・解法パターンをセットで覚えていく

冒頭で紹介した６つの単元について、出題内容を過去問と知識（公式・解法パターン）をセットで覚えていきます。

単元名	出題内容
①文章題（基本）	方程式、平均、濃度、年齢算、過不足算（不等式）
②文章題（単位量）	仕事算、ニュートン算、速さ
③整数	不定方程式、数の性質、倍数・約数、N進法、数列
④場合の数・確率	場合の数、順列、組み合わせ、確率
⑤幾何図形	角度、三平方の定理、合同・相似、円、面積
⑥規則性	多少の実験が必要な公務員試験特有問題

もうちょっと具体的に説明すると、文章題（単位量）の単元の一つに仕事算がありますね（問題と解き方を先に説明したブツです）。

過去問例題（国税・労基　平１９年）: ある水槽で、満水時に、排水口を開けるとともに排水ポンプを３台使用すると１６分で水槽は空になり、排水口を開けるとともに排水ポンプを２台使用すると２０分で水槽の水が空になる。ここで、排水口を閉じたままポンプを１台使用する場合、満水の水槽が空になるまでの時間として最も妥当なのはどれか。
ただし、排水口及び排水ポンプからの排水量は、それぞれ、水槽の水の量にかかわらず常に一定の数値を示すものとする。また、１台あたりの排水ポンプからの排水量はどれもすべて同じとする。

１．４０分
２．５０分
３．６０分
４．７０分
５．８０分

この問題は、結局は仕事算の解法パターン3STEPとしてご紹介したものを覚えていて、なおかつ、具体的に使えれば解けるわけです。