場合の数・確率の問題はこう解く｜公務員試験の過去問5問で型をつかむ（SPIとの違いも）

確率と場合の数とは

場合の数は、「起こり得るパターンが全部で何通りあるか」を数える問題です。「階段の上り方は何通り」「カードで 5 桁の整数を作ると何通り」が原型です。確率は、その数え方をそのまま使って「条件に合う数 ÷ 全部の数」を出す問題です。だから 2 つは同じ単元の表と裏で、数え方が決まれば確率は割り算 1 回で終わります。

解き方の骨は 1 本だけです。「何を 1 通りと数えるか決める・全部を数える・条件に合う分を数える（確率なら割る）」。この記事では、まず図でこの骨をつかみます。そのあと、公務員試験に実際に出た 5 問を、図を 1 枚ずつ進めながら解きます。

基本の考え方: 数える・そろえる・割る

「並べる」と「選ぶ」を分ける

A・B・C の 3 枚から 2 枚を取るとします。順番まで区別して「並べる」なら、1 枚目 3 通り × 2 枚目 2 通り＝6 個です。順番を区別せず「選ぶ」だけなら、A・B と B・A は同じ 1 つなので、6÷2＝3 個です。

3 枚から 2 枚。並べると 6 個、選ぶだけなら 3 個。図注: 並べ方（順列）は選び方（組合せ）の 2 倍。「A・B と B・A を同じと見るか」が、P と C の分かれ目です。図では 1 通りを 1 個と数えて棒の長さで表します。

迷ったら、「A・B と B・A は別物か」を自分に聞いてください。別物なら並べる（ₙPᵣ）、同じなら選ぶ（ₙCᵣ）です。

確率は「数えて割る」

サイコロの目は 6 個。そのうち 3 の倍数は 3 と 6 の 2 個です。 3 の倍数が出る確率は 2÷6＝1/3。分母も分子も、同じ「目」の数え方で数えています。

サイコロの目 6 個のうち 3 の倍数は 2 個。確率は 2/6＝1/3。図注: 全部の棒（6 個）が分母、条件に合う棒（2 個）が分子。同じルールで数えた 2 本の棒の比が確率です。

確率では、同じ色の玉でも全部区別して数えます。分母と分子を同じルールで数えれば、答えは必ず合います。

覚えておく形

手順	やること	例（赤 5・黄 4・青 2 から 3 個取る）
STEP1	何を 1 通りと数えるか決める（並べる＝P、選ぶ＝C）	「どの 3 個を選ぶか」＝C。玉は 11 個を全部区別する
STEP2	全部の数を出す	₁₁C₃＝165
STEP3	条件に合う数を出す。「少なくとも」は反対（余事象）を数えて引く	赤が 1 個もない＝₆C₃＝20 → 赤が少なくとも 1 個＝165−20＝145
STEP4	確率なら「条件に合う数 ÷ 全部の数」。約分して選択肢と比べる	145/165＝29/33

ここからは、実物の過去問で 5 つの型を見ていきます。どの型も、この 4 STEP のどこかに当てはまります。

型 1: 規則を見つけて数え上げる ── 最後の 1 歩で場合分け

問題

東京消防庁職員Ⅲ類令和 5 年度 No.10（東京都令和 5 年度 No.10 と同一問題）

10段の階段を上る場合、1段ずつ上っても2段ずつ上っても、また、1段上り及び2段上りを混ぜて上ってもよいものとするとき、階段の上り方は全部で何通りあるか。

89通り　2. 91通り　3. 94通り　4. 96通り　5. 99通り

正答 1

まず図で状況をつかむ

公式が直接は使えない問題です。こういうときは、小さい場合から数えて規則を探します。 1 段は「1 段上る」の 1 通り。2 段は「1 段ずつ」「2 段で」の 2 通りです。

1 段は 1 通り、2 段は 2 通り。3 段以上はまだ「？」。図注: 数えられるところから入れた状態。「？」は、まだ規則を使っていない印です。

STEP1: 「最後の 1 歩」で場合分けして、規則を見つける

10 段目に着く直前は、9 段目にいるか（最後が 1 段上り）、8 段目にいるか（最後が 2 段上り）のどちらかです。だから（10 段の上り方）＝（9 段の上り方）＋（8 段の上り方）。これはどの段でも同じなので、各段の上り方は「前 2 つの和」になります。

3 段 3・4 段 5・5 段 8。各段は前 2 つの和。図注: ①1 段＝1、②2 段＝2 から、③3 段＝1＋2＝3、④4 段＝2＋3＝5、⑤5 段＝3＋5＝8 と決まっていきます。

STEP2: 10 段まで足し続ける

同じ足し算を続けます。6 段＝5＋8＝13、7 段＝8＋13＝21、8 段＝34、9 段＝55、10 段＝89。

6 段 13・7 段 21・8 段 34・9 段 55・10 段 89。図注: 前の図の続き。10 段の棒が 89 個で、答えは 89 通りです。

選択肢で確かめる

肢 1：89 通り: 数列 1・2・3・5・8・13・21・34・55・89 の 10 番目 → 正答
肢 2：91 通り: 数列に出てこない
肢 3：94 通り: 同じく出てこない
肢 4：96 通り: 同じく出てこない
肢 5：99 通り: 同じく出てこない。1 つ先の 144 も選択肢にないので、89 で止めてよい

検算は別の数え方でもできます。2 段上りを k 回使うと、歩数は 10−k 歩で、そのうちどの k 歩を 2 段にするかが ₁₀₋ₖCₖ 通り。k＝0〜5 で 1＋9＋28＋35＋15＋1＝89 です。2 通りの数え方が一致したら、その答えは信じてよいです。

型 2: 順列 ── 条件の強い位置から決めて掛ける

問題

東京都令和 8 年度 No.10

1〜8の異なる数字が一つずつ書かれた8枚のカードがある。これらのカードから5枚選んで5桁の整数を作るとき、50,000より大きい偶数となる整数は全部で何通りあるか。

1,140通り　2. 1,320通り　3. 1,500通り　4. 1,680通り　5. 1,920通り

正答 4

まず図で状況をつかむ

条件がついているのは先頭（5 以上）と末尾（偶数）だけです。真ん中の 3 桁には条件がないので、先頭と末尾をどう決めても、残り 6 枚から 3 枚を並べる 6×5×4＝120 通り。まずこの「共通の 120」を表に入れます。

真ん中 3 桁はどの行も 120 通り。先頭と末尾はまだ「？」。図注: 表の 1 行が「（先頭と末尾の組）×（真ん中 3 桁）＝通り数」。条件のない 120 が先に決まります。

STEP1: 先頭が奇数か偶数かで場合分けする

先頭は 5・6・7・8、末尾は 2・4・6・8 のどれかです。6 と 8 は両方に使えるので、先頭が奇数か偶数かで分けます。

先頭が奇数（5 か 7）: 先頭 2 通り × 末尾 4 通り＝8 組 → 8×120＝960
先頭が偶数（6 か 8）: 先頭 2 通り × 末尾は残った偶数 3 通り＝6 組 → 6×120＝720

先頭が奇数なら 8 組 ×120＝960、偶数なら 6 組 ×120＝720。図注: 先頭を先に決めると、末尾に使える偶数の数が変わります。この「変わる」が場合分けの理由です。

STEP2: 足して答えを出す

960＋720＝1,680 通り。表の見方を変えると、先頭と末尾の組は 8＋6＝14 組で、14×120＝1,680 と 1 回の掛け算でも出ます。

組は 8＋6＝14。14×120＝1,680 通り。図注: 合計の行は「組の合計 14」×「共通の 120」。答えは 120 の倍数になる、と先に分かります。

選択肢で確かめる

答えは必ず 120 の倍数です。各肢を 120 で割ります。

肢 1：1,140 通り: 1,140÷120＝9.5 → 割り切れない
肢 2：1,320 通り: 11 組 → 組の数 14 と合わない
肢 3：1,500 通り: 12.5 → 割り切れない
肢 4：1,680 通り: 14 組 → 先頭 4×末尾 4＝16 から、先頭と末尾が同じカード（6 と 6、8 と 8）の 2 組を引いた 14 と一致 → 正答
肢 5：1,920 通り: 16 組 → 「6 と 6」「8 と 8」の重なりを引き忘れた数

公式を立てる前に「何倍の構造か」を見ると、計算は引き算 1 回で終わります。

型 3: 組合せ ── 全部の数から禁止の組を引く

問題

特別区 Ⅲ類令和 7 年度 No.19（障害者採用でも同一問題）

ある係は、A〜Dの4人の職員で構成されている。今、Dは1人だけで外出又は留守番をしないとするとき、外出する職員の組合せは何通りあるか。

11 通り　2. 13 通り　3. 15 通り　4. 20 通り　5. 24 通り

正答 2

まず図で状況をつかむ

「誰が外出するか」の組を数えます。順番は関係ないので組合せです。 4 人それぞれが「行く／行かない」の 2 択なので、組は全部で 2×2×2×2＝16 個あります。

4 人の行く／行かないで、組は全部で 16 個。図注: 条件を使う前の「全部」。禁止の組が混ざる問題は、全部を出してから引くのが速いです。

STEP1: 「誰も外出しない」を除く

問題文は「外出する職員の組合せ」と言っているので、誰も外出しない 1 個は数えません。 16−1＝15 個です。

誰も外出しない 1 個を除いて 15 個。図注: 「外出する組合せ」という言い方が、空の組を除く合図です。

STEP2: 条件に反する組を引く

「D は 1 人だけで外出も留守番もしない」に反するのは、D だけが外出（1 個）と、D だけが留守番＝A・B・C が外出（1 個）の 2 個です。 15−2＝13 通り。

D が 1 人になる 2 個を引いて 13 個。図注: ①全部 16 → ②誰も行かない 1 → ③外出あり 15 → ④D が 1 人 2 → ⑤答え 13 の順に決まります。

選択肢で確かめる

4 人の「行く／行かない」を数える限り、答えは 16 を超えません。

肢 1：11 通り: 15−4。「1 人だけの外出」を A・B・C・D の 4 つとも引くと出る数。引くのは D の 1 つだけ
肢 2：13 通り: 16−1−2 → 正答
肢 3：15 通り: 空の組だけ除いて、D の条件を使っていない
肢 4：20 通り: 16 を超えている。並べる数え方（P）をした人のための数
肢 5：24 通り: 4！＝24。同じく並べて数えた数

検算は書き出しでもできます。外出が 1 人: A・B・C の 3 個（D は不可）。2 人: ₄C₂＝6 個（どれも D は 1 人にならない）。3 人: ABD・ACD・BCD の 3 個（ABC は D が 1 人で留守番なので不可）。4 人: 1 個。3＋6＋3＋1＝13 で一致します。

型 4: 確率 ── 組合せで数えて割る。「少なくとも」は余事象

問題

東京消防庁職員Ⅲ類令和 7 年度 No.12（東京都令和 7 年度 No.12 と同一問題）

赤玉5個、黄玉4個、青玉2個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が少なくとも1個含まれている確率を求めよ。

26/33　2. 9/11　3. 28/33　4. 29/33　5. 10/11

正答 4

まず図で状況をつかむ

玉は 11 個を全部区別します。「同時に 3 個」なので順番は関係なく、取り方は ₁₁C₃＝165 個。これが分母です。

11 個から 3 個の取り方は 165 個。これが分母。図注: 赤 5・黄 4・青 2 でも、分母を数えるときは色を忘れて「11 個から 3 個」と数えます。

STEP1: 反対（赤が 0 個）を数えて、全部から引く

「赤が少なくとも 1 個」を直接数えると、赤 1 個・2 個・3 個の 3 つに分かれます。反対の「赤が 1 個もない」は 1 つだけ。黄 4・青 2 の 6 個から 3 個で ₆C₃＝20 個です。赤が 1 個以上は 165−20＝145 個。

赤なし 20 個を引くと、赤あり 145 個。図注: 全部の棒（165）を「赤なし」と「赤あり」の 2 本に分けただけ。分けた片方が分かれば、もう片方は引き算です。

STEP2: 全部の数で割る

確率は場合の数 ÷165。赤ありは 145/165＝29/33 です。

場合の数を 165 で割ると確率。赤ありは 29/33。図注: 表の右の列は左の列 ×(1/165)。赤なしの 20/165 は約分して 4/33、赤ありは 1−4/33＝29/33 です。

選択肢で確かめる

分母は 165＝5×33 なので、選択肢の 33 と 11 は 165 を約分した形です。つまり出題者も「165 で割る」と決めています。各肢を「165 から何を引いた数か」に戻します。

肢 1：26/33: 165×26/33＝130 → 引いた数は 35。₆C₃＝20 と合わない
肢 2：9/11＝27/33: 135 → 引いた数は 30。合わない
肢 3：28/33: 140 → 引いた数は 25。合わない
肢 4：29/33: 145 → 引いた数は 20＝₆C₃ → 正答
肢 5：10/11＝30/33: 150 → 引いた数は 15。合わない

検算は直接数えでもできます。赤 1 個＝5×₆C₂＝75、赤 2 個＝₅C₂×6＝60、赤 3 個＝₅C₃＝10 で、75＋60＋10＝145。余事象の 165−20＝145 と一致します。

場合の数の過去問と出題実績

場合の数の試験別の当サイト収録数と出題した年度
試験	収録分の出題数	出題した年度（収録分）
警視庁	3問	平成25年（1問）・平成28年（1問）・平成29年（1問）
国家一般職	2問	平成28年（1問）・令和4年（1問）
国家専門職（高卒程度）	5問	平成21年（2問）・平成22年（1問）・平成23年（1問）・平成28年（1問）
国家総合職	3問	平成24年（1問）・平成28年（2問）
東京消防庁	42問	平成28年（1問）・令和5年（6問）・令和6年（11問）・令和7年（24問）
東京都（都庁）	57問	平成28年（2問）・平成29年（1問）・令和2年（3問）・令和3年（11問）・令和4年（12問）・令和5年（2問）・令和6年（3問）・令和7年（6問）・令和8年（17問）
特別区	16問	平成29年（2問）・令和3年（1問）・令和5年（6問）・令和6年（2問）・令和7年（5問）

集計条件：当サイトの公開収録分のうち、D1 の出題実績・分類と照合できた警視庁・国家一般職・国家専門職（高卒程度）・国家総合職・東京消防庁・東京都（都庁）・特別区の問題。表に無い年度は、収録分に該当がないか、その年度の問題を収録していないかのどちらかで、試験全体の出題ゼロを意味しません。生成日：2026-10-14。

型 5: 反復試行 ── 同じことを繰り返して「ちょうど k 回」「k 回以上」

問題

特別区 Ⅰ類令和 5 年度 No.19

1 個のサイコロを6回振ったとき、3の倍数が5回以上出る確率はどれか。

1/3　2. 4/243　3. 1/729　4. 13/729　5. 5/972

正答 4

まず図で状況をつかむ

1 回振って 3 の倍数（3 か 6）が出る確率は 2/6＝1/3、出ない確率は 2/3 です（基本の考え方の 2 枚目の図）。「5 回以上」は「ちょうど 5 回」と「6 回全部」の 2 つに分かれます。ちょうど 5 回は、外れる 1 回がどの回かで ₆C₅＝6 つの出方。6 回全部は 1 つの出方です。

5 回だけは 6 つの出方、6 回全部は 1 つ。確率はまだ「？」。図注: 表の 1 行が「（出方の数）×（1 つの出方の確率）＝確率」。まず出方の数だけを入れた状態です。

STEP1: 1 つの出方の確率を出して、出方の数を掛ける

出方が「○○○○○×」なら、確率は (1/3)⁵×(2/3)＝2/729。どの回が × でも同じなので、6 つ分で 6×2/729＝12/729。 6 回全部なら (1/3)⁶＝1/729。

5 回だけは 6×2/729＝12/729（＝4/243）、6 回全部は 1/729。図注: 12/729 を約分すると 4/243（選択肢 2 の数）。図の表は約分した形で表示しています。

STEP2: 2 つを足す

「5 回以上」なので、12/729＋1/729＝13/729 です。

12/729＋1/729＝13/729。図注: 出方は 6＋1＝7 つ、確率はそれぞれの行の和。答えは 13/729 です。

選択肢で確かめる

分母 729＝3⁶ は「6 回・確率 1/3」なら必ず出る数です。

肢 1：1/3: 1 回分の確率そのもの。6 回振った問題の答えにはならない
肢 2：4/243＝12/729: 「ちょうど 5 回」だけ。「以上」を読み落とした数
肢 3：1/729: 「6 回全部」だけ
肢 4：13/729: 12/729＋1/729 → 正答
肢 5：5/972: 分母 972 は 3⁶ の形でない。1/3 と 2/3 だけで作れる数ではない

選択肢に「ちょうど」と「全部」の数が別々に置かれていたら、問いが「以上」かどうかを読み直してください。

5 つの型のまとめ

型	見分け方	やること	図
1 数え上げ	公式が直接使えない（階段・支払い）	小さい場合から数えて規則を見つける	棒が前 2 つの和
2 順列	「並べる」「整数を作る」に先頭・末尾の条件	条件の強い位置から決めて掛ける	表（組×残り）
3 組合せ	「選ぶ」「組合せ」に禁止の組	全部を出してから禁止の組を引く	棒を引く
4 確率（組合せ）	「同時に取り出す」「少なくとも」	ₙCᵣ で分母・分子。少なくともは余事象	棒を 2 本に分けて割る
5 反復試行	「n 回振る」「ちょうど k 回」「k 回以上」	ₙCₖ×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ を足す	表（出方×確率）

どの型も「何を 1 通りと数えるか決める → 全部を数える → 条件に合う分を数える（確率なら割る）」の順です。型 3 と型 4 は、全部から反対を引くところまで同じで、割るかどうかだけが違います。

式で覚えておく発展の型

図で示しにくい型が 3 つあります。初学者はまず上の 5 型を固めてから、覚え方として押さえてください。

同じ物を分ける（重複組合せ）（例: 東京消防庁令和 7 年度 No.23「X＋Y＋Z＝10 を満たす 0 以上の整数解の個数」）。○ を 10 個並べて仕切り | を 2 本入れる並べ方なので ₁₂C₂＝66 個。「空にしない」条件がつくなら、先に 1 個ずつ配ってから同じ要領で数えます（例: 特別区平成 29 年度 No.15「同じボール 9 個を 3 つのバッグに、空のバッグが出ないように」→ 残り 6 個を ₈C₂＝28 通り）。
先に 3 勝した方が優勝（例: 東京消防庁令和 7 年度 No.11・東京都令和 7 年度 No.11、同一問題。1 試合に勝つ確率 1/3）。最後の試合は必ず勝ちなので、3 勝 0 敗・3 勝 1 敗・3 勝 2 敗に分け、最後の 1 勝を固定して「その前の試合でどこで負けたか」を数えます。(1/3)³＋₃C₁(1/3)³(2/3)＋₄C₂(1/3)³(2/3)²＝3/81＋6/81＋8/81＝17/81。
条件付き確率（例: 東京消防庁令和 7 年度 No.24「2 個目に取り出した玉が白だったとき、1 個目も白だった確率」）。すでに起きたこと（2 個目が白）を分母にして、「1 個目も 2 個目も白」を分子に置き直します。分母を全部の場合の数にしたままだと答えが違います。「〜であるとき」「〜が見つかった。これが〜である確率」という言い回しが合図です。

よくある間違い 3 つ

順列と組合せを取り違える。 「選ぶだけ」なのに並べて数えると答えが大きくなりすぎます（型 3 の 24 通り）。数える前に「A・B と B・A は同じ 1 通りか」を決めます（基本の考え方の 1 枚目の図）。
「少なくとも」「以上」を直接足して、途中で漏らす。 「赤が少なくとも 1 個」は「1 個もない」を引く（型 4）。「5 回以上」は 5 回と 6 回の両方（型 5）。選択肢に途中の数（4/243・1/729）があるときは特に注意。
確率で同じ色の玉を「区別しない」で数える。 確率では分母も分子も 11 個を全部区別して ₁₁C₃＝165 と数えます（型 4）。場合の数の問題で「同色の玉に区別はない」と書かれているときだけ区別しません。問題文の指示を確認してから数え始めます。

SPI の確率・場合の数との違い

SPI の非言語にも場合の数・確率があります。考え方は同じで、型 3（組合せ）と型 4（組合せで数えて割る・余事象）の基本形が中心です。順列と組合せの使い分け、「同時に取る」と「戻して取る」の区別がよく問われます。公務員試験では型 1（規則を見つける数え上げ・支払いの書き出し）や型 5、上の「発展の型」のように条件を組み合わせた問題が出ます。本記事の問題はすべて公務員試験の過去問です。SPI は問題が公開されないため、「SPI の過去問」は存在せず、市販の対策本の例題はいずれも再現問題です。SPI を受ける人も、まず型 3・型 4 を図で固めるのが近道です。SPI が課される自治体（例: さいたま市）の対策はさいたま市 SPI 対策ガイドにまとめています。